Assalamualaikum
Wr. Wb.
Puji dan syukur
kita panjatkan atas kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan ridho
jualah kami dapat menyelesaikan makalah
ini. Makalah ini kami buat atas kerjasama kelompok sehingga kami dapat
menyelesaikan makalah ini.
Dalam
perkuliahan kami harapkan makalah ini dapat membantu mahasiswa dalam belajar.
Sehingga pengetahuan mahasiswa dapat bertambah dengan membaca makalah kami.
Kami berharap
dengan membaca makalah ini para pembaca atau mahasiswa dapat mengerti dan paham
isi dari makalah ini.
Makalah ini yang
telah kami selesaikan tak luput dari kesalahan. Maka dari itu, kritik dan saran
dari pembaca sangat kami harapkan untuk memperbaiki makalah ini.
Wassalamualaikum Wr. Wb.
Palembang,
November 2014
Penyusun
Kata Pengantar i
Daftar Isi ii
Garis Singgung dan Bidang Normal Pada Suatu Kurva ...... 1
Bidang Singgung dan Garis Normal Pada Permukaan.......... 1
Kurva di Ruang 2
Contoh Soal 3
Latihan Soal 5
Maksimum dan Minimum .................................................... 6
Contoh Soal 8
Latihan Soal 12
INTERPRETASI GEOMETRI
1.
Kurva
dan permukaan dalam ruang
a.
Garis
singgung dan bidang normal pada suatu kurva
Kurva ruang dapat didefnisikan dalam bentuk parametrik
sebagai berikut:
x = f(t), y = g(t), z = h(t).
Pada titik P0(x0, y0, z0)
di kurva,
1) Maka persamaan
garis singgungnya adalah :
2) Persamaan bidang normal
(bidang yang melalui titik P0 dan tegak lurus dengan garis singgung) adalah:
( x-x0 ) +
( y-y0 ) +
(z-z0 ) = 0
b.
Bidang
singgung dan garis normal pada permukaan
b.1. Vektor Normal
Sebuah
vektor yang tegak lurus pada vektor singgung dari setiap kurva C pada permukaan
S dan melalui titik P0 pada S disebut dengan vektor normal pada S di
P0, yaitu :
F(x0,y0,z0)
= F x (x0,y0,z0)i + F y
(x0,y0,z0)j + F z (x0,y0,z0)k
b.2. BidangSinggung
Andaikan
F(x,y,z) = k adalah persamaan suatu permukaan S pada ruang dimensi tiga, yang
memuat titik P(x0,y0,z0) dan misalkan F dapat dideferensialkan
di P(x0,y0,z0). Bila mana gradien F di P(x0,y0,z0)
yakni
(x0,y0,z0)
0,
maka bidang yang melalui P(x0,y0,z0) yang
tegak lurus
(x0,y0,z0)
disebut dengan bidang singgung permukaan S di P(x0,y0,z0).
Persamaan bidang singgung dari permukaan S di P(x0,y0,z0)
dengan gradien
(x0,y0,z0)
diberikan oleh
F x (x0,y0,z0)(x
– x0) + F y (x0,y0,z0)(y
– y0) + F z (x0,y0,z0)(z
– z0) = 0
Dalam bentuk vektor
persamaan bidang singgung dari permukaan S di P(x0,y0,z0)
dengan gradien
(x0,y0,z0)
di berikan oleh,
(x0,y0,z0)
•
(x – x0)i + (y – y0)j
+ (z – z0)k] = 0
Dalam hal khusus, untuk
permukaan S yang persamaannya diberikan oleh, z = f(x,y) persamaan bidang
singgung di titik (x0,y0,f(x0,y0))
diberikan oleh,
(z – z0) = f x (x0,y0)(x
– x0) + f y (x0,y0)(y – y0)
b.3. Garis Normal
Garis normal permukaan pada permukaan S
di P(x0,y0,z0) adalah suatu garis yang melalui
P(x0,y0,z0) dengan vektor arah garis adalah
vektor normal
(x0,y0,z0).
Dalam bentuk persamaan garis simetri, persamaan garis normal di P(x0,y0,z0)
denganvektor arah.
(x0,y0,z0)
= F x (x0,y0,z0)i + F y
(x0,y0,z0)j + F z (x0,y0,z0)
Diberikan
oleh,
c.
Kurva
di ruang
F ( x, y, z ) = 0
G ( x, y, z ) = 0
Di titik P0 dari kurva,
persamaan garis singgungnya :
Sedangkan persamaan
dari bidang normal di titik P0 adalah
( x-x0 ) +
( y-y0 ) +
( z-z0 )
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis singgung dan
bidang normal pada kurva x=t, y=t2, z=t3 di titik t=1 !
Jawab :
Pada titik t = 1 maka x = 1, y = 1, z = 1
jadi P0 (1, 1, 1)
3t2
Maka persamaan garis singgungnya adalah:
Sedangkan persamaan
bidang normal di titik P0 (1, 1, 1) adalah
( x-x0 ) +
( y-y0 ) +
(z-z0 ) = 0
X – 1 + 2y – 2 +3z – 3
= 0
X + 2y + 3z – 6 = 0
Contoh 2 :
Carilah persamaan bidang singgung di
permukaan elipsoida,
X2
+ 4y2 + 3z2 – 2x – 8y = 56
Padatitik (3,2,4)
Penyelesaian
Ambil, F(x,y,z) = x2 + 4y2
+ 3z2 – 2y – 8y – 56. Dari fungsi F diperoleh,
Fx
(x,y,z) = 2x – 2,
Fy
(x,y,z) = 8y – 8,
Fz
(x,y,z) = 6z
Jadi persamaan bidang singgung permukaan
di (3,2,4) diberikan oleh,
4(x
– 3) + 8(y – 2) + 24(z – 4) = 0 atau, x + 2y +3z = 31
Contoh 3 :
Carilah
persamaan simetri garis normal permukaan, x2z +xy2 – yz2
= 19, di titik (2,3,1)
Penyelesaian
Ambil, F(x,y,z) = x2z + xy2
– yz2 – 19, dan dengan menurunkan secara parsial dihasilkan,
F
x (x,y,z) = 2xz + y2
F
y (x,y,z) = 2xy – z2
F
z (x,y,z) = x2 – 2y
Dan gradien F di sembarang titik adalah,
(x,y,z) = (2xz + y2)i + (2xy –
z2)j + (x2 – 2yz)k
dan di titik (2,3,1) adalah
(2,3,1) = [2(2)(1) + (3)2]i +
[2(2)(3) – (1)2 – 2(3)(1)]k
= 13i + 11j – 2k
Jadi persamaan simetri garis normal
permukaan di titik (2,3,1) dengan vektor arah garis,
F(2,3,1) = 13i + 11j – 2k adalah,
LATIHAN SOAL
1. Carilah persamaan garis
tangen dan bidang normal untuk kurva-kurva berikut:
(a) x = t, y =
t2, z = t3 di titik t = 0
(b) x = t – 2,
y = 3t2 + 1, z = 2t3
(c) x = tet,
y = et, z = t, di titik t = 0
(d) x = t cos
t, y = t sin t, z = t, di titik t = 0
2. Carilah persamaan garis
tangen dan bidang normal dari kurva di titik yang diberikan oleh:
(a) x2
+ 2y2 + 2z2 = 5, 3x – 2y – z = 0, di titik (1, 1, 1).
(b) 9x2
+4y2 – 36z = 0, 3x + y + z = 0, di titik (2, -3, 2)
(c) 4z2
= xy, x2 + y2 = 8z, di titik (2, 2, 1).
3. Tentukanlah titik pada permukaan, z2 = xy2
– 2xy, dimana bidang singgungnya tegak lurus dengan garis, x = 1 – 3t, y = 9t,
z = 4 – 6t. Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya ditiik
tersebut.
4. Tentukanlah titik pada permukaan, x2
+ 2y2 + 3z2 = 12, dimana bidang singgungnya tegak lurus
dengan garis , x = 1+ 2t, y = 3 + 8t, z = 2 – 6t. Hitunglah pula persamaan
bidang singgung dan garis normalnya dititik tersebut.
MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI BEBERAPA
VARIABEL
Misalkan Z = f(x, y) terdefinisi dan kontinu dalam domain
D. Fungsi ini dikatakan mempunyai relatif maksimum di (x0, y0 )
jika f (x, y) < f (x0, y0) untuk setiap (x, y) cukup
dekat pada (x0, y0) dan mempunyai relatif minimum di (x0,
y0) jika f (x, y) > f (x0, y0).
Pengertian Nilai
Ekstrim Fungsi
Andaikan f adalah fungsi dua variabel yang memuat titik (x0,
y0) pada daerah asal f.
i)
f(x0,
y0) dikatakan sebagai nilai maksimum relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerah asal f, jika f(x0, y0)
≥ f(x, y) pada daerah
asal f
ii)
f(x0,
y0) dikatakan sebagai nilai minimum relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerah asal f, jika f(x0, y0) ≤ f(x, y) pada
daerah asal f
iii)
f(x0, y0)
dikatakan sebagai nilai ekstrim relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerah asal f, jika f(x0,
y0) adalah nilai maksimum atau nilai minimum f(x,y).
Titik Kritis
Andaikanf(x, y) fungsi yang
didefinisikan pada daerah asal yang memuat titik (x0,y0).
Jika f(x0 y0)
adalah nilai ekstrim f,
maka (x0, y0)
harus merupakan titik kritis, yakni salah satu titik dari :
i). Titik batas daerah
asal fungsi
ii). Titik stasioner f
iii). Titik singular f, berikut ini.
Titik Stasioner – Uji
Turunan Pertama
Titik
(x0, y0) dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi f bilamana, fx (x0,
y0) = 0, dan fy
(x0, y0) = 0
Contoh :
Carilah nilai maksimum
atau minimum f(x,
y) = 6x + 8y – x2 – 2y2, jika ada?
Penyelesaian
Langkah awal menentukan
titik kritis. Dengan menurunkan secara parsial f(x, y) terhadap variabel bebasnya
dihasilkan,
fx(x,
y) = 6 – 2x, dan fy(x,y)
= 8 – 4y
Dengan menetapkan,
fx(x,
y) = 0, dihasilkan 6 – 2x = 0, atau x = 3
fy(x,
y) = 0, dihasilkan 8 – 4y = 0, atau y = 2
Dengan demikian titik
kritis f
adalah x = 3 dan y = 4 atau (3,4)
UJI TURUNAN KEDUA
Andaikan f adalah fungsi dua variabel dari x dan y
sedemikian sehingga f dan turunan-turunan parsial orde kedua
kontinu. Andaikan pula bahwa
fx
(x0, y0) = 0 dan fy (x0,
y0) = 0
i.
fx (x0, y0) dikatakan
sebagai nilai maksimum f , jika :
fxx (x0,
y0) fyy (x0, y0)-
[fxy (x0, y0)]2 >
0, dan fxx (x0, y0)< 0 (atau fyy
(x0, y0)< 0
ii.
fx (x0, y0)
diakatakan sebagai nilai minimum f,
jika :
fxx (x0, y0) fyy
(x0, y0)- [fxy (x0,
y0)]2 > 0, dan fxx (x0,
y0)> 0 (atau fyy (x0, y0)>
0
iii.
fxx (x0, y0) fyy
(x0, y0)- [fxy (x0,
y0)]2 < 0, uji gagal dan fx (x0,
y0) dikatakn bukan nilai ekstrim dan (x0, y0)
disebut dengan titik pelana.
Dari
kedua teorema diatas, untuk menentukan nilai ekstrim fungsi dua variabel ,
langkah-langkah yang dilakukan adalah :
1.
tentukan turunan-turunan parsial pertama dan
kedua dari f , yakni fx (x,y), fy
(x,y), fxx (x,y), fyy
(x,y) dan fxy (x,y)
atau fyx (x,y)
2.
Tentukan titik kritis (stasioner) fungsi yakni
dengan menetapkan , fx (x0,y0) = 0, dan
fy (x0,y0) = 0
3.
Bentuk persamaan pembantu,
D(x,y) =
f xx (x,y) fyy
(x,y)- [fy (x,y)]2,
dan
selanjutnya selidikilah jenis nilai ekstrim pada titik kritis dengan
menggunakan uji turunan kedua.
Berdasarkan tiga langkah diatas, berikut ini
adalah beberapa contoh-contoh penggunaanya :
Contoh 1:
Tentukanlah jenis dan nilai ekstrim (jika ada)
fungsi yang didefinisikan oleh,
fx (x,y) =
y4
+ x3 -2y3 – 6x2 + 4y2 + 9x
Penyelesaian :
Langkah pertama, menentukan turunan parsial.
Dari fungsi f(x,y) dihasilkan,
fx (x,y) = 3x2 - 12x +9 fy
(x,y) = y3 – 6y2 + 8y
fxx
(x,y) = 6x -12 fyy (x,y) = 3y2 – 12y + 8
f
xy (x,y)
= 0 fyx
(x,y) = 0
Langkah kedua, menentukan titik kritis. Dengan
menetapkan tirunan parsial pertama sama nol yakni,
fx
(x,y) = 0, dihasilkan 3x2 - 12x +9 = 0
3(x-1)(x-3) = 0
x
= 1 atau x = 3
fy
(x,y) = 0, dihasilkan y3 – 6y2 +
8y = 0
y(y-2)(y-4) = 0
y
= 0, y = 2, y = 4
Dengan titik kritis fungsinya adalah (1,0),
(1,2), (1,4), (3,0), (3,2) dan (3,4)
Langkah ketiga,Penyelidikan nilai ekstrim.
Untuk memudahkan menerapkan uji turunan kedua, bentuk Persamaan pembantu
D (x,y) =
f xx (x,y) fyy
(x,y)- [fy (x,y)]2
= (6x-12) (3y2 -12y +8)
Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut ini.
(x0, y0)
|
f xx (x,y)
|
fyy (x,y)
|
fxy (x,y)
|
D(x,y)
|
Kesimpulan
|
(1,0)
|
-6
|
8
|
0
|
-48
|
f(1,0) = 4 bukan ekstrim
dan (1,0) titik pelana
|
(1,2)
|
-6
|
-4
|
0
|
24
|
f(1,2) = 8 adalah ekstrim
maksimum relatif
|
(1,4)
|
-6
|
8
|
0
|
-48
|
f(1,4) = 4 bukan ekstrim
dan (1,4) titik pelana
|
(3,0)
|
6
|
8
|
0
|
48
|
f(3,0) = 0 adalah ekstrim
dan minimum relatif
|
(3,2)
|
6
|
-4
|
0
|
-24
|
f(3,2) = 4 bukan ekstrim
dan (3,2) titik pelana
|
(3,4)
|
6
|
8
|
0
|
48
|
f(3,4) = 0 adalah ekstrim
minimum relatif
|
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan bahwa :
1.
f(1,2) =
8 adalah ekstrem maksimum relatif
2.
f(3,0) =
0 dan f(3,4) = 0 adalah ekstrim minimum relatif
Contoh
2:
Tentukanlah
jenis dan nilai ekstrim (jika ada) fungsi didefinisikan oleh :
f(x,y) =
x3
+ 3xy2 – 2x2y + 8y2 – 48y
Penyelesaian
:
Langkah
pertama, menentukan turunan parsial, Dari fungsi f(x,y) dihasilkan,
fx (x,y) =
x2 – 4xy + 3y2 fy
(x,y) = 6xy -2x2 +
16y – 48
fxx
(x,y) = 2x – 4 fyy
(x,y) = 6x + 16
fxy
(x,y) =
-4x + 6y fxy
(x,y) = 6y – 4x
Langkah kedua, menentukan titik kritis. Dengan
menetapkan tirunan parsial pertama sama nol yakni,
fx
(x,y) = 0, atau x2 -4xy + 3y2 =
(x-y)(x-3y) = 0
x = y, atau x = 3y
f y
(x,y) = 0, atau, 6xy – 2x2 +
16y – 48 = 0
Untuk x
= y, dan f y
(x,y) = 0, diperoleh :
6(y)y –
2(y)2 + 16y – 48 = 0
4y2 + 16y – 48 = 0
4(y2 + 4y – 12) = 0
4(y + 6)(y - 2) = 0
Y= -6, y = 2
Sehingga
untuk y = -6, diperoleh x = -6, dan x = 2, jika y = 2. Sedangkan untuk x = 3y,
dan f y (x,y) = 0 , diperoleh :
6(3y)y- 2(3y)2 + 16y – 48 = 0
16y – 48
= 0
16(y - 3)
= 0
y = 0
Sehingga
untuk y = 3, diperoleh x = 9, jadi titik
kritis (stasioner) fungsinya adalah titik-titik (-6,-6), (2,2), dan (9,3).
Langkah
ketiga, penyelidikan nilai ekstrim. Untuk memudahkan menerapkan uji turunan
kedua, bentuk persamaan pembantu
D (x,y)
= f xx (x,y) fyy (x,y)- [fy
(x,y)]2
= (2x – 4y)(6x +16) – (6y – 4x)2
Selanjutnya
perhatikanlah tabel berikut ini.
(x0, y0)
|
f xx (x,y)
|
fyy (x,y)
|
fxy (x,y)
|
D(x,y)
|
Kesimpulan
|
(-6,-6)
|
12
|
-20
|
-12
|
-384
|
f(-6,-6) bukan nilai ekstrim dan (-6,-6) adalah titik
pelana
|
(2,2)
|
-4
|
28
|
4
|
-128
|
f(2,2) bukan nilai ekstrim, dan (2,2) adalah titik
pelana
|
(9,3)
|
6
|
70
|
-18
|
96
|
f (9,3) = -72 adalah nilai ekstrim minimum
|
Dari
tabel diatas dapat disimpulkan bahwa, f(9,3) = -72 adalah nilai ekstrim
minimum fungsi f sedangkan nilai ekstrim maksimumnya tidak ada.
Soal-soal Latihan.
Tentukanlah nilai ekstrim fungsinya jika ada.
1.
f (x,y)
= x3 + 2y3 + 3x2 – 24x -24y
2.
f (x,y)
= x3 – y3 +
6x2 - 12x – 9y
3.
f (x,y)
=
y4 + 2x3
– 2y2 – 24x
4.
f (x,y)
=
y4 –
x3 -2y3 6x2 +
4y2 – 9x
5.
f (x,y)
= 2x3 +2y3 – 3xy2 – 12x
6.
f (x,y)
= x2y3(12-x-y)
7.
f (x,y)
= x3y2(36-2x-3y)
8.
f (x,y)
= 2x3 – 6xy + y2 – 9y
9.
f (x,y)
= 4xy2 -2x2y – 16x
10. f
(x,y) = xye –y (k-x)
Harrah's Cherokee Casino - Mapyro
BalasHapusExplore Harrah's 밀양 출장샵 Cherokee Casino, Cherokee and 영주 출장샵 Save BIG on Your Next Stay! Compare Reviews, Photos, 상주 출장안마 & Availability w/ Travelocity. 충청북도 출장마사지 Start Saving Today! 대전광역 출장안마